AdaGrad、RMSProp、Adam优化器

AdaGrad
Adaptive Gradient ,自适应梯度，它能够对每个不同的参数调整不同的学习率，对频繁变化的参数以更小的步长进行更新，而稀疏的参数以更大的步长进行更新。
公式：

gt表示第t时间步的梯度（向量，包含各个参数对应的偏导数，gt,i表示第i个参数t时刻偏导数）
gt2表示第t时间步的梯度平方（向量，由gt各元素自己进行平方运算所得，即Element-wise）
与SGD的核心区别在于计算更新步长时，增加了分母：梯度平方累积和的平方根。此项能够累积各个参数gt,i的历史梯度平方，频繁更新的梯度，则累积的分母项逐渐偏大，那么更新的步长(stepsize)相对就会变小，而稀疏的梯度，则导致累积的分母项中对应值比较小，那么更新的步长则相对比较大。
AdaGrad能够自动为不同参数适应不同的学习率（平方根的分母项相当于对学习率α进进行了自动调整，然后再乘以本次梯度），大多数的框架实现采用默认学习率α=0.01即可完成比较好的收敛。
优势：在数据分布稀疏的场景，能更好利用稀疏梯度的信息，比标准的SGD算法更有效地收敛。
缺点：主要缺陷来自分母项的对梯度平方不断累积，随之时间步地增加，分母项越来越大，最终导致学习率收缩到太小无法进行有效更新。

RMSProp
结合梯度平方的指数移动平均数来调节学习率的变化。能够在不稳定（Non-Stationary）的目标函数情况下进行很好地收敛。
计算t时间步的梯度：

计算梯度平方的指数移动平均数（Exponential Moving Average），γ是遗忘因子（或称为指数衰减率），依据经验，默认设置为0.9。

梯度更新时候，与AdaGrad类似，只是更新的梯度平方的期望（指数移动均值），其中ε=10^-8，避免除数为0。默认学习率α=0.001。

优势：能够克服AdaGrad梯度急剧减小的问题，在很多应用中都展示出优秀的学习率自适应能力。尤其在不稳定(Non-Stationary)的目标函数下，比基本的SGD、Momentum、AdaGrad表现更良好。

Adam优化器

更新规则：
计算梯度的指数移动平均数，m0初始化为0。
计算梯度平方的指数移动平均数，v0初始化为0。
β1 系数为指数衰减率，控制权重分配（动量与当前梯度），通常取接近于1的值。默认为0.9
β2 系数为指数衰减率，控制之前的梯度平方的影响情况。对梯度平方进行加权均值。
默认为0.999
计算t时间步的梯度


由于m0初始化为0，会导致mt偏向于0，尤其在训练初期阶段。
所以，此处需要对梯度均值mt进行偏差纠正，降低偏差对训练初期的影响。

与m0 类似，因为v0初始化为0导致训练初始阶段vt偏向0，对其进行纠正。

更新参数，初始的学习率α乘以梯度均值与梯度方差的平方根之比。其中默认学习率α=0.001，ε=10^-8，避免除数变为0。由表达式可以看出，对更新的步长计算，能够从梯度均值及梯度平方两个角度进行自适应地调节，而不是直接由当前梯度决定。